Simplificar para resolver

  Hoy quiero introducir una idea que se aplica en el campo de la matemática, pero que considero útil para cualquier otra cosa. Se podría reducir a la palabra "simplificar", pero estaríamos perdiendo mucho de la técnica que la matemática le impone a la simplificación.
  Lo voy a explicar con un ejemplo sencillo, que fue con el que me lo hicieron aprender a mí. Miren el siguiente gráfico:

  Procedo a explicar lo que significa este dibujo para quienes no lo saben. En el dibujo hay tres elementos bien diferenciados: una curva negra, una línea recta roja y un punto azul. Bien, la curva negra representa una función matemática. El punto azul es un punto que pertenece a la curva. Luego, la línea roja es lo que se llama la derivada de la función en el punto azul. Observen que esta derivada es también la tangente de la curva en el punto azul. Es importante notar que se puede calcular la derivada de cualquier punto de la curva negra, el resultado sería siempre similar: una línea recta tangente a la curva en el punto elegido.
  Analicemos un poco el gráfico. Lo primero que quiero que noten, es que, como la recta roja es tangente a la curva negra, entonces, ningún punto de la recta roja es compartido con la curva negra, con la única excepción del punto azul. En el gráfico puede parecer que sí, pero es porque las líneas están dibujadas con un grosor exagerado. Pero si imagináramos que vemos el punto azul con una lupa, entonces veríamos que ningún punto de la curva negra toca a ningún punto de la recta roja; excepto el punto azul.
  Sin embargo, cerca del punto azul, la curva negra y la recta roja se parecen mucho. Si bien no comparten sus puntos, sus puntos tienen una cercanía notoria. Esta cercanía comienza a desaparecer cuanto más nos alejamos del punto azul.
  Les hago una pregunta, ¿qué línea es más compleja? ¿la curva negra o la recta roja? Creo que todos responderán lo mismo: la recta roja. Una recta es una línea mucho más simple que una curva. Lo pongo de este modo: si tuviéramos un auto andando sobre una línea recta, cualquier cálculo que queramos hacer sobre su posición, velocidad o aceleración se vuelve mucho más simple que si ese mismo auto describe un trayecto curvo.
  Ahora bien, ¿de qué sirve este análisis que hicimos? Les cuento. Como bien saben siglos atrás ya existían matemáticos capaces de resolver, pongamos por ejemplo, raíces cuadradas sin la necesidad de utilizar calculadoras. Incluso resolvían logaritmos sin la ayuda de calculadoras. ¿Cómo hacían? Bien, la utilización de derivadas era una de las maneras que tenían de resolver este tipo de cuestiones.
  Cuando tenían que saber el valor de uno de los puntos de una curva, se fijaban si conocían el valor de un punto muy cercano. Si lo conocían, calculaban la derivada en ese punto, y luego, calculaban el punto real que querían conocer utilizando la recta que resultaba de la derivación. Si bien no era el punto exacto el que obtenían, obtenían un punto muy similar. Esto se podía hacer, claro está, si el punto buscado estaba cerca del punto que conocían (lo que en el gráfico está representado por el punto azul). Porque, como dijimos antes, cuanto más nos alejamos del punto conocido (azul), más diferentes son las dos líneas.
  Espero que hasta acá me estén siguiendo. Ahora viene la conclusión: ¿qué nos enseña esta técnica para resolver valores de puntos? Nos enseña que si tenemos un problema complejo, podemos intentar imaginar este mismo problema de una manera simplificada. Y tratar de resolver ese problema en este nuevo ambiente simplificado. Ese nuevo ambiente tiene la ventaja de que es más sencillo, y tal vez lo que no era evidente en el problema original, sí es evidente en el problema simplificado. Pero aquí no termina la cosa. Lo siguiente es tomar la solución que encontramos en el problema simplificado y ver si también nos sirve en el problema inicial. Este paso es similar a determinar si estamos tratando de buscar el valor de un punto cercano al punto azul, o lejano. Si la simplificación del problema nos dio un resultado que es válido en el problema original, es porque, de alguna manera la simplificación nos ofreció un problema que fue muy similar al problema original. Por el contrario, si el resultado que nos dio en el problema simplificado no es aplicable al problema original, entonces, quiere decir que la simplificación que hicimos, hizo que el problema cambiara tanto que ya no sirve analizar sobre él. Pero esto no quiere decir que no tenga solución, no, quiere decir que debemos buscar otra simplificación que tal vez sí nos sirva.
  Voy a tratar de poner un ejemplo burdo como para que se entienda mejor. Supongamos que un día de estos ahorramos un dinero y no sabemos qué hacer con él. El problema que tenemos es que hay muchísimas opciones donde gastar el dinero, y por eso no podemos encontrar una solución a en qué gastar nuestro dinero. ¿Qué podemos hacer en este caso? Simplificar. Probemos. Supongamos que no hay muchísimas cosas en donde gastar el dinero. Supongamos que solamente lo podemos gastar en una florería o en una librería. Notarán que el problema se simplificó muchísimo, antes teníamos probablemente decenas de miles de objetos en los cuales poder gastar nuestro dinero, pero ahora tenemos decenas solamente. Pero bien, puede pasar que nosotros no queramos comprar flores ni artículos de librería. Entonces, esta simplificación que hicimos, no nos sirve. Modificamos tanto el problema original que creamos un nuevo problema que casi  no tiene relación con él. Ahora bien, supongamos que a nosotros nos gusta la música y los zapatos. Entonces, en vez de simplificar el problema suponiendo que solamente podemos gastar nuestro dinero en una florería o en una librería; vamos a suponer que lo podemos gastar en una disquería o en una zapatería. Nuevamente pasamos de tener decenas de miles de opciones a tener solamente decenas. Pero ahora, además, esas decenas de opciones son de artículos que nos gustan. Es muy probable que, dentro de esos artículos podamos encontrar en qué queremos gastar nuestro dinero, y ya no hay necesidad de pensar en las decenas de miles de opciones que nos pueden ofrecer los comercios.
  Obviamente, este ejemplo es algo que hacemos automáticamente y sin pensar. Pero la próxima vez que tengan un problema de difícil solución, les aconsejo que intenten algo similar a lo que explicamos acá. Quítenle variables al problema, quítenle todo aquello que consideren superfluo o poco importante para ustedes. Encuentren una solución en este nuevo problema simplificado que crearon, y fíjense si esta solución es útil en el problema original. Si sí lo es, han resuelto un problema complejo, simplificándolo. Si no lo es, busquen de hacer otra simplificación, eliminando otras variables, para ver si encuentran una simplificación que les sea útil.
  Espero que si llegaron hasta acá, se estén haciendo la misma pregunta con la que tituló Paenza su último libro: ¿cómo, esto también es matemática?